QUASI-PERIODIC SOLUTIONS OF NONLINEAR WAVE EQUATIONS ON THE D-DIMENSIONAL TORUS

Muchas ecuaciones diferenciales parciales (PDE) que surgen en la física, como la ecuación de onda no lineal y la ecuación de Schrödinger, pueden verse como sistemas hamiltonianos de dimensión infinita. En los últimos treinta años, se han probado varios resultados de existencia de soluciones cuasi-periódicas en el tiempo adoptando un punto de vista de "sistemas dinámicos". La mayoría de ellos tratan con ecuaciones en una dimensión espacial, mientras que para las PDE multidimensionales todavía se está construyendo una imagen satisfactoria.

En la primera parte de esta monografía de investigación se proporciona una introducción actualizada al ahora rico tema de la teoría KAM para PDE. Luego nos enfocamos en la ecuación de onda no lineal, dotada de condiciones de contorno periódicas. El resultado principal de la monografía demuestra la bifurcación de toros invariantes de dimensión finita de pequeña amplitud para esta ecuación, en cualquier dimensión espacial. Este es un problema difícil de divisores pequeños debido a los complejos fenómenos de resonancia entre las frecuencias de modo normal de las oscilaciones. La demostración requiere varios métodos matemáticos, que van desde la teoría de Nash-Moser y KAM hasta técnicas de reducción en dinámica hamiltoniana y análisis multiescala para operadores lineales cuasiperiódicos, que se presentan de forma sistemática y autónoma.

Este libro será útil para los investigadores que estén interesados ??en problemas de divisores pequeños, particularmente en el contexto de las PDE hamiltonianas, y que deseen familiarizarse con los desarrollos recientes en el campo.

"Many partial differential equations (PDEs) arising in physics, such as the nonlinear wave equation and the Schrödinger equation, can be viewed as infinite-dimensional Hamiltonian systems. In the last thirty years, several existence results of time quasi-periodic solutions have been proved adopting a "dynamical systems" point of view. Most of them deal with equations in one space dimension, whereas for multidimensional PDEs a satisfactory picture is still under construction.An updated introduction to the now rich subject of KAM theory for PDEs is provided in the first part of this research monograph. We then focus on the nonlinear wave equation, endowed with periodic boundary conditions. The main result of the monograph proves the bifurcation of small amplitude finite-dimensional invariant tori for this equation, in any space dimension. This is a difficult small divisor problem due to complex resonance phenomena between the normal mode frequencies of oscillations. The proof requires various mathematical methods, ranging from Nash–Moser and KAM theory to reduction techniques in Hamiltonian dynamics and multiscale analysis for quasi-periodic linear operators, which are presented in a systematic and self-contained way. Some of the techniques introduced in this monograph have deep connections with those used in Anderson localization theory." - publisher